秒殺問題第２４問（大阪星光学院中学校０５年第１問（２））

大阪星光学院中学校０５年第１問（２）

（問題）

　６けたの整数２□６□１□は、２７と３７の公倍数です。このとき、万の位の数字は□、百の位の数字は□、一の位の数字は□です。

（解答・解説）

３０秒以内に解ける問題です。
３×３７＝１１１を覚えていれば、２７と３７の公倍数が１１１×９＝９９９の倍数となることが一瞬でわかります。
いま、万の位の数字をＡ、百の位の数字はＢ、一の位の数字をＣとします。
　　２Ａ６
　＋Ｂ１Ｃ
　　９９９
を満たすＡ、Ｂ、Ｃを求めればいい（（注）を参照）ので、一の位の数字（Ｃ）は３、万の位の数字（Ａ）は８、百の位の数字（Ｂ）は７となります。
（注）
　　２Ａ６Ｂ１Ｃ
　＝２Ａ６×１０００＋Ｂ１Ｃ
　＝２Ａ６×（９９９＋１）＋Ｂ１Ｃ　←９９９を作り出します。９の倍数判定法のときも同様の変形をしたはずですね。
　＝２Ａ６×９９９＋２Ａ６＋Ｂ１Ｃ　←分配法則を利用しました。
が９９９の倍数となるためには、２Ａ６＋Ｂ１Ｃが９９９の倍数となればいいですが、２Ａ６＋Ｂ１Ｃが９９９×２＝１９９８以上となることはないので、２Ａ６＋Ｂ１Ｃ＝９９９となります。