秒殺問題第６９問（慶應義塾中等部２００５年第２問（１））

慶應義塾中等部２００５年第２問（１）

（問題）

　９で割ると７余る１０桁（けた）の整数があります。この整数を５倍した数を９で割ると、あまりは[　]です。

（解答・解説）

１０秒以内に解ける問題です。
１０桁の整数という条件は不要です。　←ある整数で割った余りは、桁数に影響されないからです。
９で割ると７余る整数のうちの１つである７を考え、５倍した数を９で割った余りを考えれば、答えは出せます。
　　７×５÷９
　＝３・・・８
したがって、求める余りは８となります。
厳密に解きたければ、次のようにすればよいでしょう。
９で割ると７余る数は、９×□＋７（□＝０、１、２、３、・・・）と表せます。
これを５倍すると、
　　（９×□＋７）×５
　＝９×□×５＋７×５　←分配法則を利用しました。
　＝９×（□×５）＋９×３＋８
　＝９×（□×５＋３）＋８　←分配法則の逆を利用しました。
となります。
□×５＋３は整数だから、９×（□×５＋３）は９で割り切れます。
したがって、９×（□×５＋３）＋８を９で割った余りは８となります。