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灘中学校１８年１日目第３問

（問題）

　４個の整数a、b、c、dがあり、bはaより１大きく、cはbより１大きく、dはcより１大きいです。a×b＋b×c＋c×d＋d×aを計算すると２４００になるとき、aは[　]です。




（解答・解説）

３０秒以内に解ける問題です。
最近の灘中にありがちですが、中学校で習う因数分解の問題にすぎません。
　　a×b＋b×c＋c×d＋d×a
　＝（a＋c）×b＋（a＋c）×d　←分配法則の逆を利用しました。
　＝（a＋c）×（b＋d）　←分配法則の逆を利用しました。
　＝（a＋a＋２）×（a＋１＋a＋３）
　＝（a×２＋２）×（a×２＋４）
　＝２×（a＋１）×２×（a＋２）　←分配法則の逆を利用しました。
　＝４×（a＋１）×（a＋２）
これが２４００だから、
　　（a＋１）×（a＋２）
　＝２４００/４
　＝６００
となります。
あとは、６００の約数のペアで差が１のものを探すだけです。
連続２整数の積なので、平方数で見当をつけます。
２０×２０＝４００、３０×３０＝９００だから、２０と３０の間の整数で５の倍数を含むものを考えると、２４×２５がすぐに見つかりますね。
したがって、
　　a
　＝２４−１
　＝２３
となります。
分配法則の逆をフル活用して解きましたが、面積図をかいて解くこともできます。