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南山中学校女子部２００９年第５問

（問題）

　１/２３１、２/２３１、３/２３１、……、２２８/２３１、２２９/２３１、２３０/２３１の２３０個の分数のうち約分できる数は何個ありますか。

（解答・解説）

３０秒以内に解ける問題です。
２３１を素因数分解すると、３×７×１１となります。
約分できない分数を考えます。　←「または」の条件（いずれかを満たせばよい条件）より「かつ」の条件（すべてを満たさなければいけない条件）が扱いやすいので、このように考えます。
約分できない分数は、分子が３でも７でも１１でも割り切れないものになります。
２３１はこの条件を満たさないので、１から２３１までの整数で３でも７でも１１でも割り切れないものの個数を数えればいいですね。 その個数は
　　２３１×２/３×６/７×１０/１１　←３で割り切れない数は３個中２個、７で割り切れない数は７個中６個、１１で割り切れない数は１１個中１０個あるからです。
　＝２×６×１０
　＝１２０個
となるから、約分できる数は
　　２３０−１２０
　＝１１０個
となります。
なお、頭の中で３つのヴェン図を思い浮かべて、約分できる数を直接求めることもできます。
約分できない分数は、分子が３か７か１１で割り切れるものになります。
計算の便宜上、分子が１から２３１までの場合を考え、あとで調整します。
求める個数は
　　３で割り切れる数の個数＋７で割り切れる数の個数＋１１で割り切れる数の個数−３でも７でも割り切れる数の個数−７でも１１でも割り切れる数の個数−１１でも３でも割り切れる数の個数＋３でも７でも１１でも割り切れる数の個数−１
　＝[２３１/３]＋[２３１/７]＋[２３１/１１]−[２３１/（３×７）]−[２３１/（７×１１）]−[２３１/１１×３）]＋[２３１/（３×７×１１）]−１　←[〇]は〇を超えない最大の整数を表します。
　＝７７＋３３＋２１−（１１＋３＋７）＋１−１
　＝１１０個
となります。