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南山中学校女子部2009年第5問

(問題)

 1/231、2/231、3/231、……、228/231、229/231、230/231の230個の分数のうち約分できる数は何個ありますか。




(解答・解説)

30秒以内に解ける問題です。
231を素因数分解すると、3×7×11となります。
約分できない分数を考えます。 ←「または」の条件(いずれかを満たせばよい条件)より「かつ」の条件(すべてを満たさなければいけない条件)が扱いやすいので、このように考えます。
約分できない分数は、分子が3でも7でも11でも割り切れないものになります。
231はこの条件を満たさないので、1から231までの整数で3でも7でも11でも割り切れないものの個数を数えればいいですね。 その個数は
  231×2/3×6/7×10/11 ←3で割り切れない数は3個中2個、7で割り切れない数は7個中6個、11で割り切れない数は11個中10個あるからです。
 =2×6×10
 =120個
となるから、約分できる数は
  230−120
 =110個
となります。
なお、頭の中で3つのヴェン図を思い浮かべて、約分できる数を直接求めることもできます。
約分できない分数は、分子が3か7か11で割り切れるものになります。
計算の便宜上、分子が1から231までの場合を考え、あとで調整します。
求める個数は
  3で割り切れる数の個数+7で割り切れる数の個数+11で割り切れる数の個数−3でも7でも割り切れる数の個数−7でも11でも割り切れる数の個数−11でも3でも割り切れる数の個数+3でも7でも11でも割り切れる数の個数−1
 =[231/3]+[231/7]+[231/11]−[231/(3×7)]−[231/(7×11)]−[231/11×3)]+[231/(3×7×11)]−1 ←[〇]は〇を超えない最大の整数を表します。
 =77+33+21−(11+3+7)+1−1
 =110個
となります。