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武蔵中学校2022年第1問(1)

(問題)


 次の[ア]、[イ]にあてはまる数を書き入れなさい。
 1から9までのどの整数で割っても割り切れる10以上の整数のうち、最も小さいものは[ア]です。アの約数のうち、最も大きい奇数は[イ]です。




(解答・解説)

30秒以内に解ける問題です。
10以上という条件は0を除外するということです。
1から9までのどの整数で割っても割り切れる10以上の整数のうち最も小さいものは1、2、3、4、5、6、7、8、9の最小公倍数の倍数となります。
1は考える必要がなく、2、3は6に含まれ、4は8に含まれるので、1、2、3、4、5、6、7、8、9の最小公倍数と5、6、7、8、9の最小公倍数は一致します。
さらに、6(2×3)は、8×9に含まれることから、結局、5、7、8、9の最小公倍数を考えればいいことになります。
5、7、8、9は互いに素(1以外に公約数を持たない)なので、5、7、8、9の最小公倍数は
  5×7×8×9
 =7×9×40 ←偶数の8と5を先に計算します。~「5と2は仲良し」
 =63×40
 =2520
となり、これがアとなります。
また、アの約数のうち、最も大きい奇数イは
  5×7×9
 =315
となります。
上のように考えれば、日本数学オリンピック2008年予選第1問(4つの相異なる1桁の正の整数がある。これらの最小公倍数として考えられる最大の値を求めよ。)の答えが2520となることがすぐにわかります。