算数秒殺問題第１５２問（南山中学校女子部２０２２年算数第４問（２））

南山中学校女子部２０２２年算数第４問（２）

（問題）

　異なる５つの素数について考えます。５つの素数の平均が１８，ある３つの素数の平均が１５であるとき、５つの素数の中でもっとも大きいものを答えなさい。

（解答・解説）

京都大学などの大学入試問題でよく問われる特徴的な素数（唯一の偶数である２、唯一の３の倍数である３）を思い浮かべれば、１０秒程度で解ける問題です。　←この問題で必要なのは唯一の偶数である２のほうです。
５つの素数の和が１８×５＝９０（偶数）だから、５つの素数のうち１つは偶数、つまり２となります。　←偶奇性～奇数５個の和は奇数となるからです。
また、３つの素数の和が１５×３＝４５だから、残り２つの素数の和は９０－４５＝４５となり、２つのうち１つは偶数、つまり２となり、もう１つは４５－２＝４３となります。　←偶奇性～奇数２個の和は偶数だからです。
和が４５である３つの素数の中に４３を超えるものはないから、５つの素数の中でもっとも大きいものは４３となります。
なお、残り３つの素数は３、１７、２３などが考えられますが、求める必要はありません。