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開成中学校２０２２年第１問（３）

（問題）

　４人の人がサイコロを１回ずつふるとき、目の出方は全部で６×６×６×６＝１２９６通りあります。この中で、４つの出た目の数をすべてかけると４の倍数になる目の出方は何通りありますか。




（解答・解説）

東大の過去問（２００３年前期理科数学第５問（２））をアレンジ（ｎ個を４個にし、確率の問題を場合の数の問題に変更）した問題ですが、３０秒以内に解ける問題です。
余事象を考えます。
４つの出た目の数の積が４の倍数とならないのは、以下の２つの場合が考えられます。
　（あ）４つの出た目がすべて奇数の場合
　（い）３つの出た目が奇数で、１つの出た目が２か６の場合
（あ）のとき
３×３×３×３＝８１通りの場合が考えられます。
（い）のとき
誰が偶数の２か６を出すかで４通りあり、その偶数が２か６の２通りあり、残りの人がそれぞれどの奇数を出すかで３通りあるから、全部で４×２×３×３×３＝２１６通りあります。
したがって、求める場合の数は１２９６－２１６－８１＝９９９通りとなります。
なお、４つの出た目の数の積が６の倍数になる目の出方が何通りあるか求める問題（同様の問題が東大や京大などで出されています）であれば、次のように考えるのがよいでしょう。
　すべての目の出方の場合の数－（偶数なし（奇数だけ）の場合の数＋３の倍数なし（１、２、４、５だけ）の場合の数－偶数も３の倍数もなし（１、５だけ）の場合数）