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武蔵中学校2024年第1問(1)

(問題)


 1以上176以下の整数のうち、176との最大公約数が1である整数は[ ]個あります。




(解答・解説)

30秒以内に解ける問題です。
176=11×16=2×2×2×2×11だから、1以上176以下の整数のうち、2でも11でも割り切れない数の個数を求めることになります。
その個数は
  176×1/2×10/11 ←下の(イメージ図)を参照
 =80個
となります。
(イメージ図)
2と11の最小公倍数の22個の場合について説明します。
〇は1から22までの整数を小さい順に並べたもので、は2で割り切れる数、は11で割り切れる数、は2でも11でも割り切れる数を表します。
 〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇
 〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇
縦2、横11の長方形の縦が1/2、横が10/11になり、面積が22×1/2×10/11=1×10=10となるイメージです。